「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

三角関数講座その3(置き換え・2次関数)

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今回の問題はこちら。

制限時間9分です。自力で解きましょう。解いてから下の解説に移ってくださいね。

 

 

 

 

 

解きましたでしょうか。では解説に移ります。

 

 

 

 

 

まず関数の見た目に騙されないことです。必ずこのように複雑に見える問題は置き換えのうまい方法があります。センター試験では、この置き換えはほとんどの場合与えられますので安心してください。ただ、与えられたからといってそれを当てはめるだけというわけでは無いのでそこは肝に命じておきましょう。

さて、今回はまず少し先を見ましょう。見ると、最終的に関数がどうなっているかがわかります。確認できましたか?

そうです、二次関数になっていますね。ということは、最終的には二次関数で考えていくわけで、その準備をしていかなくてはなりません。

その準備とは何かというと、

変形置いた文字の範囲の確認
 

です。これから二次関数に変形するために置き換えをしていきます。その置き換えによって複雑に見えた三角関数が二次関数の形になります

しかしあくまで置き換えをしたに過ぎないので、その置き換えた文字の範囲は考えなくてはなりません。なにせ元々与えられている範囲は角度の範囲ですから。

というわけでやることは明確になりました。実際に計算をしていきますよ。

まずは変形ですね。

問題は最初に範囲を確認させていますがまず変形をするのが最善だと思うのでそこから始めていきましょう。

問題を見るとまず置き換えた \(t\) を二乗をしてますので言われるがままにやってみます。

$$t^2=(\sqrt{3}\sin\theta -\cos\theta)^2=3\sin^2\theta-2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta +\cos^2\theta$$

解答は \(\sin\theta\) で表していますので \(\cos^2\theta=1-\sin^2\theta\) を使って

$$t^2=3\sin^2\theta-2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta +1-\sin^2\theta=2\sin^2\theta-2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta +1$$

となります。

すると計算した結果に今変形したい式が出てきているではありませんか!!

ですからこの式から欲しい部分だけを取り出します。すると

$$2\sin^2\theta-2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta =t^2 -1$$

となります。\(1\) を移項しただけですね。これで準備は完了です。なぜならそれ以外のところはもう置き換えができそうだからです。ほら、こんな風に

$$2\sqrt{3}\sin\theta -2\cos\theta=2(\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta)=2t$$

というわけで元の式を変形すると

$$f(\theta)=t^2-1+2t=t^2+2t-1$$

となります。これで問題は一つ終わりました。2次関数への置き換えが完了です。

次は範囲の確認でしたね。今置いた文字は

$$t=\sqrt{3}\sin\theta -\cos\theta$$

ですがこれの範囲はどうなるのでしょうか。問題にはヒントが書いてあって何やら合成をしていますね。

私たちは三角関数ただ一つでしか範囲を確認することはできません。なぜなら三角関数は角度が変われば \(\sin\ ,\ \cos\ ,\ \tan\) 全てが相互的に変化してしまうからです。

ですから、一つにする方法として合成がされているわけですね。

わかったところで合成です。合成は散々練習しましたね。すぐにできない人はこの記事をご覧ください。

$$t=\sqrt{3}\sin\theta -\cos\theta=2\sin\left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)$$

これで準備は完了。角度の範囲が \(0\leqq\theta\leqq\pi\) なので文字の範囲は

$$0\leqq\theta\leqq\pi$$

$$-\frac{\pi}{4}\leqq\theta -\frac{\pi}{4}\leqq\pi -\frac{\pi}{4}$$

$$-\frac{\pi}{4}\leqq\theta -\frac{\pi}{4}\leqq\frac{3}{4}\pi$$

より

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\leqq\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\leqq 1$$

なので2倍して

$$-\sqrt{2}\leqq2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\leqq 2$$

すなわち

$$-\sqrt{2}\leqq t \leqq 2$$

です。あとは三角関数ではなく二次関数と考えてこれ以降の問題を解いていきます。

やることは最大値最小値を求めることだけ。二次関数で最大最小と言われたら何をやるか明白です。

そう、平方完成してグラフを書くだけです。やってみましょう。

平方完成は

$$f(\theta)=t^2+2t-1=(t+1)^2-2$$

ですからグラフは

となります。もちろんグラフには範囲がありましたのでそれに気をつけると

となります。というわけで与えられた関数の最大値・最小値は

\(t=2\) の時、最大値 \(7\)

\(t=-1\) の時、最小値 \(-2\)

となりました。しかし、私たちが欲しいのはです。ですからもちろん得られた から角度を求めなくてはなりませんね。ここで初めて三角関数に戻ってきます。

計算すると

  • \(t=2\) の時

$$2\sin\left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)=2$$

より

$$\sin\left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)=1$$

なので

$$\theta -\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$

$$\theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi$$

  • \(t=-1\) の時

$$2\sin\left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

より

$$\sin\left(\theta -\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}$$

なので角度の範囲に気をつけて、

$$\theta -\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{6}$$

より

$$\theta=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}$$

です。

まとめると

\(\theta=\frac{3}{4}\pi\) のとき、最大値 \(7\)

\(\theta=\frac{\pi}{12}\) のとき、最大値 \(-2\)

となります。流れがわかったでしょうか。

解答はこれで終了です。お疲れ様でした。

まとめ

センター試験のなかで”難しい問題”と言われる問題も最初さえ抜け出せると二次関数にしたり合成したりとやることは同じです。

問題設定は違うように見えてもここでやった形になれば解ける

という状態をまずは作って欲しいわけです。その一つのパターンがこの

三角関数 \(\rightarrow\) 二次関数 \(\rightarrow\) 三角関数

の形です。なんども見直してほかの問題をやった時に似てると思ったら戻ってきてください。ちゃんと同じように解いているはずだしこの問題が解けたなら解けるはず。途中途中で出てきた方程式の計算などももちろん大事なので、もしそこで詰まってしまった場合は参考書などで確認しておくことをオススメします。

ではまた。

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