「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

最初に知っておきたいベクトルの基本概念

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

 

∗この記事は「センター得点上昇計画」の一部を抜粋しております。ベクトルの基本概念がまとまった記事ですので、知っておきたい基本概念として載せておきます。

ベクトルの問題を考えるときの基本とは

 

ベクトルで伸び悩んでいる人はおそらくベクトルというものを難しく考えすぎているんだと思います。

というのもベクトルは問題を抽象的に捉えるための道具だからです。

高校数学のベクトルの問題を解く際もある程度までは数学的な操作で完結してしまいます。

結論を言ってしまうと何も考えずに変形を施していくと解けてしまう問題がベクトルには多いということです。

そこで大事になってくるのが次の基本的な考えかたです。

平面なら2、空間なら3の始点が同じベクトルを用意すれば、そのベクトルと同じ始点のいかなるベクトルもその2つベクトルの線形結合でかける
 

線形結合という難しい言葉が出てきたのでそれも含めて解説します。

例えば次のような始点が揃った2つのベクトルがあり、それとは違うベクトルがあるとしましょう。

 

この始点が揃ったベクトルをこれから基本のベクトルと呼ぶことにします。

この基本のベクトル(\(\vec{OA}\ ,\ \vec{OB}\))を使って実はもう一つのベクトル(\(\vec{OC}\))を必ず表すことができます。

なぜならベクトルは定数倍することによって伸ばすことができ、それらを足せばどんなベクトルでも作ることができるからです。

上の例だとこんな感じでしょうか。

実際にはこの図において

$$\vec{OA^{\prime}}=2\ \vec{OA}$$

$$\vec{OB^{\prime}}=\frac{3}{2}\ \vec{OB}$$

として、\(\vec{OC}\) を

$$\vec{OC}=\vec{OA^{\prime}}+\vec{OB^{\prime}}=2\ \vec{OA}+\frac{3}{2}\ \vec{OB}$$

と書けるようになっています。最後の式が先ほど言った、

「基本のベクトルを定数倍して足すとほしいベクトルが作れる」

というところに対応しています。確かに、どうにか定数倍すればいくらでもいろんなベクトルを作れそうですよね。

この2つのベクトルの定数倍を作りその和を取ったものを線形結合と言います。

まとめると2つの基本のベクトルがあればそれを使ってあらゆるベクトルをその基本のベクトルの線形結合で書けるわけです。

ベクトルの威力がまだわからないという方も多いと思いますがそれは問題を通して感じていただければと思います。

とにかくここではベクトルの基本的な考え方を抑えて欲しいと思います。それは上記でも論じましたが

2つのベクトルを使って他のベクトル全てを記述する

ことです。まずはこの概念を頭に入れて色んな問題や参考書に目を通してみてください。驚くほど当てはまるはずです。

まとめ

「基本のベクトルを定数倍して足すとほしいベクトルが作れる」

ということを頭に入れましょう。ベクトルはこれができて初めて威力を発揮します。自由自在にベクトルを作れるようになればあとはそれを上手に使ってあげるだけです。

ではまた。

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