「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

ベクトルの和と差・成分表示

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

この記事の目的

  • ベクトルの和と差とは何かを理解する
  • ベクトルの成分表示とは何かを理解する
  • 成分表示で和と差を計算できるようにする

 

ここではベクトルの和とは何か、差とは何かをまずは説明していきます。

2つのベクトルの和とは

始点の揃った2つのベクトルで平行四辺形を描き、その平行四辺形の対角線の方向と長さ
 

です。言葉だと難しいので図に表します。この2つのベクトル

の和を考えると、

となります。気をつけて欲しいのは必ず始点が揃ったベクトルでないと和は考えられないことです。

ベクトルは平行で長さが等しいものは始点がどこであれ同じベクトルであると定義されています。

なので和を考えるときに、始点が揃っていなければ揃えてから始めます。

例えば

このような2つのベクトルの和を考えたい場合は

のようにどちらか一方を平行移動してから平行四辺形を書きます。できますね?

和は平行四辺形と覚えましょう。

 

次は差です。差は少し複雑です。最初は和の話から差を作ってみます

ベクトルは大きさを変えずに向きを逆にするとマイナス符号が付きます。

$$\vec{AO}=-\vec{OA}$$

と表すことができるということです。

ですので例えば先ほどの図

に対して、 \(\vec{OA}\) と \(\vec{OB}\) の差

$$\vec{OA}-\vec{OB}$$

を考えたいのであれば引く方 (今回は \(\vec{OB}\) ) を逆にして足せば良いです。

こんな感じです。

あとはこの二つのベクトルの和を考えれば今考えたい差を計算できます。もちろん始点を揃えれば

ですので、欲しいベクトルはこんな向きです。

これが差なのですが通常教科書等などではこんな風にずらして書くことが多いです。

引く側のベクトル(\(\vec{OB}\))の先端(今回はB)から引かれる側(\(\vec{OA}\))の先端(今回はA)へ矢印を書けば差のベクトルになります。

こう覚えてもいいですが管理人的には差は和で考える方で覚えるのがいいかなと思います。慣れるとすぐに出来ます。

補足:この先ベクトルを学んでいくとこのように図で考えるのではなく、計算で簡単に差を考えることができるようになります。さらに差は別の使い方をされていきますのでそこも頭に入れておきましょう。

さて、ここまで出来たらあとは成分表示でベクトルの和と差を考えていきましょう。

ベクトルの成分表示とは原点からベクトルを考え、ベクトルの先端が示す座標をそのベクトルの成分表示とするのでした。

ここでは2つベクトルを成分表示し、その和を考えてみましょう。

例えば点Aを(4,1)、点Bを(2,3)とします。これを図に書いてOAベクトルとOBベクトルを考えると

となり

$$\vec{OA}=(4,1)\ ,\ \vec{OB}=(2,3)$$

と表すことができます。ではこれを使って和をまずは求めてみましょう。

図で書くと和は

ですが、この点C表すベクトルの成分はどうなるでしょうか。

xの方向だけ見るとOAベクトルのxの成分にOBベクトルのxの成分だけ足された形になっています。

すなわち単純にそれぞれの成分を足したものが足した後のベクトルのx成分になっているわけです。まあ当たり前っぽいですね。

y座標も同じです。まとめると

$$\vec{OC}=(6,4)$$

となりますね。

和はとても楽です。では差はどうでしょう。

差は先ほどの話から引く側のベクトルを逆にして足すのでしたね。

ベクトルを逆にするということは成分でいうと成分それぞれにマイナスがつくことを意味しています。

この通り。というわけで同じように成分で計算すると

$$\vec{OA}-\vec{OB}=(2,3)-(4,1)=(2,3)+(-4,-1)=(-2,2)$$

となり、結局のところそれぞれの成分で引き算することと同じでした。

これでベクトルの和と差、そして成分表示での和と差も理解できました。まとめると

 

  • ベクトルのは、ベクトルの始点を揃えて平行四辺形を作る。

その対角線がベクトルの和である。

  • ベクトルの引く側のベクトルを逆にして足す

もしくは

引く側の始点から引かれる側の終点に向かってベクトルを考える

  • 成分では成分同士を足し算引き算すれば簡単に和と差を計算できる

 

まずは計算方法と図形的な意味を理解してたくさん使ってみましょう!

まとめ

ベクトルに和と差はベクトルのすべての基本です。図形的にも理解しなければいけないので大変ですが慣れるまで何度も考えて自力で答えにたどり着きましょう。

ではまた。

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