シグマの意味と性質

シグマとは

まずはシグマ記号の意味を考えていきます。シグマ記号は次のように定義されます。

一言でいうと「書くのが面倒なので記号で書いた」のです。実はこの言葉大事です（笑）。

右の

$$\sum_{k=1}^n a_{k}$$

の意味を示します。

記号の下と上にある \(k=1\)、\(n\) は、初項からスタートして2、3、4、・・・、n-1、nと順番に代入してくださいという意味です。\(\sum\) の記号はそれらをすべて足していきましょうということになります。\(a_{k}\) は一般項の \(n\) を \(k\) としたものです。

例えば次の数列の初項から第 \(n\) 項までの和をシグマの記号で表してみます。

$$2+5+8+11+14+17+…$$

まずは何がわからなければならないかというと一般項です。これは等差数列なので、初項2、公差3より

$$a_{n}=2+(n-1)\times 3=3n-1$$

またこの数列は初項から第\(n\)項までの和なのでシグマ記号は \(k=1\)、\(n\) を使えばよいですね。ということは

$$2+5+8+11+14+17+…=2+5+8+11+14+17+…+3n-1=\sum_{k=1}^n (3k-1) \nonumber$$

と書けます。いかがでしょうか。もう一つ例を挙げます。次の数列の和をシグマ記号を使って表してみます。

$$3+6+12+24+48+96$$

今度は６項目で打ち切られています。こういう場合は記号の\(n\)の部分を変えなければなりません。

まずは一般項。この数列は初項3、公比2の等比数列なので一般項は

$$a_{n}=3\cdot 2^{n-1}$$

です。和は初項から第6項までなので

$$3+6+12+24+48+96=\sum_{k=1}^6 3\cdot 2^{k-1}$$

と書けます。少しイメージできてきたでしょうか。記号はあくまで記号です。それが示す意味が大事ですので忘れないように。

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シグマ記号の性質