「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

数学ができるようになるためのロードマップと勉強法

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数学に近道はない

誰でも苦手なものはやりたくありません。それは人間である以上避けられないと思います。

この記事を見てくれている方々は

 

数学が今よりも少しできるようになりたい

 

とか

 

数学を得意分野にしたい

 

と思ってくれているのではないでしょうか。

まずは自分でその心意気を褒めましょう。素晴らしいことです。普通の人はなかなかできません。

 

そしてその次に「じゃあどうやったら数学ができるようになるのか?」ということを考えてみましょう。

何か簡単な方法があるんでしょうか。

必勝法的なものがあれば嬉しいですよね。

でも申し訳ないのですが、数学にはそれは

 

ない

 

と言えます。というか世の中にある全てのことで必勝法はないと思います。

なぜなら、もし必勝法があるなら、その物事は全ての人にとって全く同じレベルになるからです。

そうすると「得意」とか「苦手」という発想自体がいらないですよね。

 

じゃあ、どうしたらいいのか・・・と悲観することはありません。必勝法はないにしても、どんなことでも

 

何を目指すのか

 

という目標さえ間違わず、

 

努力をする

 

ことができれば必ず自分のものにできると思います。

というわけで今回は数学について

 

数学の問題を自力で解けるようになるためのロードマップ

 

を最後に示すことで

 

 

 

そもそも数学はどこから勉強したらいいの?

どうやって勉強したら?

何を目指せばいいの?

 

 

といった疑問を解消し、より一層勉強の効率とモチベーションを上げてもらいます。

数学を勉強するときの目標とは? なぜ模試で点数が取れない?

まず、数学を勉強する時の目標をここで整理します。

皆さんはなぜ数学を勉強するのでしょうか。

多くの人はおそらく

 

「テストで点数を取るため」

 

という目標があるのではないでしょうか。

ではどうやったらテストで点数が取れるようになるのか。皆さんは多分

 

「数学の問題を解ければいい」

 

と思うでしょう。その通りなのですが、もう一歩踏み込んでみます。

皆さんはどうやったら数学の問題が解けるようになると思いますか?

 

「公式を覚えればいいんじゃない?」

 

そうですね。そうかもしれません。ですが、それだけでは数学で高得点を取ることは難しいと思います。なぜなら数学は

 

「理由と組み合わせの学問である」

 

と僕は思っているからです。どういうことかというと高校数学は特に

 

問題に対してその公式を使う理由がある

 

ことが多く

 

問題は一発で解けることはなく、多くの知識を組み合わせて一歩ずつ階段を上った先に解答がある

 

のです。つまり数学の問題が解けるようになるために必要なことは

 

問題を自分で理解し、

必要な公式を引き出し

問題に対応させる能力

 

です。多くの人は公式を覚えることはしています。ですが、

 

そもそもこの単元では何を題材にしているの?

どんな時にその公式が使えるのか?

なぜその公式を使うの?

 

といったことを理解しようとしていないのです。公式を覚えるときにここを疎かにしている人が多すぎます。これができていないために

 

定期テストはなんとかなるけど、模試や実力テストでは点数が取れない

 

といったことが起こるのですね。

というわけでここで数学の勉強をするときの一つ目の目標がわかりました。それは

数学の単元を勉強するときは

 

どんなことを疑問に思って、もしくは解決したくてその分野があるのか

いつ、その公式が使えるのか(条件)

なぜ、その公式を使うのか(理由

 

をしっかりと意識すること

です。

数学ができる人の思考回路

じゃあ、具体的にどうやって勉強したらいいのか、

という疑問が出てくるのは当然でしょう。もちろん答えていきます。

 

ですがその前にじゃあ「数学ができる人」はどうやって問題を解いているのか気になりませんか。

僕は世界全体で見れば数学が「ものすごくできる人」ではありませんが、こんな記事を書いて解説記事も書いている人間なので「ある程度」はできる人間だと思います(一応資格?として目に見えるものがあった方が良いかと思い、最近数学検定準一級を取りました)。

 

ですので僕がどのように問題を見て、考え、解答を書くまでに至っているかを少し紹介しようと思います。少し大げさに書きますが、大体こんなことをスッと頭の中で考えていると思っていただければ良いかなと。

 

もちろんいろんな考え方があるので、一例として参考にしてください。

難しい問題はやりませんし、「まだ学んでいない分野だよー」という方も雰囲気を感じてもらえればOKです。

では、例えばこんな問題が出てきたとしましょう。

例題

 

円に内接する四角形ABCDにおいて

AB\(=3\), \(BC=2\), CD\(=2\), \(\displaystyle\angle\)B\(=60^{\circ}\)

のとき、次のものを求めよ。

 

(1) ACの長さ (2) ADの長さ (3) 四角形ABCDの面積

 

この問題を見たときに皆さんは何を考えますか。

僕だったらまず、すぐに「図形の問題」とわかるので図を書きます。

その間に考えることとしては

 

 

こんな感じですね。いきなり答えが分かるわけではありません。当たり前ですが。

というわけでまずは1問目から解いていくのですが、この問題はACの長さを求める問題ですから、とりあえず最初に考えた余弦・正弦定理あたりを頭に浮かべながら考えます。

余弦定理を使う動機として

 

「三角形の1つの角度、3つの辺という4つの情報のうち、一つがわからない状態であれば余弦定理で必ず求められる」

 

ので三角形ABCに対して使えばACの長さを出せそうですよね。

というわけで三角形ABCに対して余弦定理を使えば

 

\begin{eqnarray} AC^{2} &=& 3^{2}+2^{2}-2\cdot 3\cdot 2\cos{60^{\circ}}\\&=&9+4-6=7\end{eqnarray}

 

もちろん AC\(>0\) なので \(AC=\sqrt{7}\) です。これで(1)はクリア。

次に(2)ですが、四角形周りの辺ADですね。四角形の辺を求める公式なんてものは知りませんので、基本的に三角形で考えます。

使えるのは三角形ADCですが、余弦定理を使うとしたら情報がひとつ足りません・・・どうしたものか・・・

ここで

 

「ん?角度については確か円に内接する四角形でなんとかなるのでは?」

 

と思い出すわけです。そうすると対角は足すと180度なので

 

\(\angle D = 120^{\circ}\)

 

とわかります。ここまでくれば後は余弦定理でOK。使い方の注意は僕のこの記事(記事リンク)に譲るとして先ほど出した ACに長さを使えば

\begin{eqnarray}
7^{2} &=& AD^{2}+2^{2}-2\cdot 2\cdot AD\cos{120^{\circ}} \\
49 &=& AD^2+4-4AD\cos{120^{\circ}} \\
\end{eqnarray}

 

より整理すれば

 

\(AD^{2}+2AD-3=0\)

 

なので解けば

 

\(AD = -3\,\ 1\)

 

で、AD\(>0\) なので \(AD=1\) です。これで(2)が終わりました。重要なことは

 

最初から流れがわかっているのではなく、その場で「何が必要か」を考えながら問題を見ている

 

ことです。一発で余弦定理の式にたどり着いたのではないことを意識してもらえると良いかと思います。

 

最後の(3)は面積です。四角形の面積といっていますが、そんな公式はやはり知らないので、三角形で考えましょう。四角形は三角形2つで考えれば良いですね。

三角形については既に公式を知っていて、ここで詳しく解説していますが

 

「辺2つとそれらで挟む角の \(\sin\) 」

 

が分かれば面積が求められます。今回はまさにそうなっていますよね。(1)が(2)のヒントに、(2)が(3)のヒントになっているのがわかります。

というわけで後は計算するだけ。四角形の面積を \(S\) とすれば

 

\begin{eqnarray}S &=&\triangle ABC+\triangle ACD\\&=& \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2\cdot \sin{60^{\circ}}+ \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2\cdot \sin{120^{\circ}}\\&=& 2\sqrt{3}\end{eqnarray}

 

解けましたね。かなり大袈裟に書きましたが、特に習いたての時はこんな感じで考えていたと思います。

なんとなくイメージできたでしょうか。あなた自身との違いがもしかしたら見えたかもしれません。これが絶対ではないですが「単純に公式を当てはめていた」という人はぜひその方法を改めてみてください。問題の見え方が変わってくるはずです。

ある程度数学ができるようになってきたなと思ったらこの本がおすすめです。

河合塾さんが出している問題集ですが、「覚えているだけ」では多分、手も足もでないでしょう。こういう

 

「問題文から情報を取り出して、自分の知識と結びつける」

 

という力が今後のトレンドになっていくでしょうし、ペーパーテストでいかにこういう問題を解いていくかが合格の鍵となるでしょう。読んでみると面白いかもしれません。問題は少し難しめかなと思っています。

高校数学は「知識のパズル」

というわけでここまで読んでいただいた方はもうこの見出しの意味がわかるはずですね。つまるところ数学は

 

いかに知識を頭の中にいれ、問題を見極め、瞬時に知識を取り出し、当てはめていくか

 

という

 

「知識のパズル」

 

のようなものだと言えるでしょう。そしてこの感覚を身につけた人は数学の問題を解くのが楽しくなると思います。

なぜなら

 

新しい問題や難しい問題に出会う=新しい知識を得るチャンス

 

ですから。

 

「勉強を始めたいけどどこからやったら良いの?」

「どうやってやったら良いの?」

 

という人は

 

数学の勉強法を徹底分析 どこから?何から?どうやって?に答えます
数学の勉強を始める前の心構え 数学の勉強法を求めてこの記事にたどり着いてくれた皆さん。ありがとうございます。 早速勉強法を知りたいところだとは思いますが、一旦立ち止まって、まずどんな心意気で数学と向き合えば良いのかをお話ししよう...

 

まずはこの記事をみてください。数学を始める気持ちの部分から、具体的なところまでたくさん書いてあります。

自分で問題をやるときも、

 

どうしてそんな風に考えるの?

どういう場面で公式が使えるの?

 

ということをまずは念頭において解説や問題を見てみましょう。一問の価値がぐんと上がりますよ。

宣伝ではないのですが、実は僕が作っているサイトはこれらにものすごくフォーカスした記事作成をしています。僕の記事を使って皆さんの勉強の役に立てばそれ以上に嬉しいことはありません。

まとめ

ここまで読んでくださった皆様ありがとうございます。かなりの長文になりましたが、僕が思う数学の勉強の心得を書き切れたかなと思っています。勉強法という名前にしては、具体的な勉強法は別記事になっていましましたが・・・。

僕のサイトはこれまで書いてきたことを、記事を読んでいく中で達成できるように最大限考慮しています。なぜ?になるべく答えるように、そして計算は丁寧に追っているつもりです。ぜひこのサイトを有効活用して数学を得意科目にしてください!!

ではまた。

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数学の勉強を始める前に
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