極座標とは 直交座標系の極座標表示

 

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極座標ってなんだ？

私たちはこれまで \(x\) 軸と \(y\) 軸という二つの軸で表現される直交座標でいろいろな関数を考えてきました。

しかしなぜ私たちは「直交座標」というものを使っているのでしょうか。ある点を座標で表す、これは今や当たり前ですが、 \(x\) 軸、\(y\) 軸というのは一体誰が決めたのでしょうか。

実を言うとこれはデカルトという数学者が「方法序説」という書物で発表したことが始まりです。直交座標は別名「デカルト座標」ともいうぐらいデカルトさんの功績は大きいです。

ですが、空間のある一点を記述する方法（今は二次元上で考えましょう）は別にこれだけではないはずです。

例えば

 

 

ここにある点は今、直交座標で考えると

 

\((1,\sqrt{3})\)

 

と表せますが、この \(x\) 軸と \(y\) 軸を使わなくてもこの点を表すことは可能です。

例えば

 

 

こんな風に \(x\) 軸からの角度と原点からの長さを指定してあげればこの点の位置を指定することができます。

このように \(x\) 軸からの角度 \(\theta\) と原点からの距離 \(r\) を使って点を指定する方法を

 

極座標表示

 

と言います。なんだかかっこいい名前ですね。

極というのは頂点とか終点とかの意味です。北極とか南極とかは地球の経度や緯度を測るときの基準になりますよね。

この極からの距離と、ある基準から測った角度（これを偏角と言います）を使って点の場所を指定する方法です。

例えばある点をポンと置いたときに

 

 

この「？」の部分の距離と角度がわかればいいのでなんとかして出せば（どうやるのかは次以降で説明しますのでご安心を）

 

 

\(\displaystyle \left(2,\frac{\pi}{4}\right)\) と極座標を求めることができます。

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直交座標と極座標を行ったり来たりする

直交座標から極座標へ

ある点は直交座標でも極座標でも表せるということは、直交座標で表した座標を極座標で表すことが可能ですね。

逆に極座標から直交座標へもできるはずです。例えば

 

 

こんな問題はどうやって説きましょうか。

まず、点の位置を確認しましょう。

 

 

ここですね。ではこの点を極座標で表すため必要な情報はなんでしょうか。

 

 

そうです。ここですね。この角度と原点から点までの距離がわかればいいわけです。

距離に関しては簡単ですね。私たちはこれまで点と点の距離はいいだけ求めてきましたものね。

 

\(r=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2\)

 

では角度 \(\theta\) はどうしましょう。これは

 

 

このように直角三角形を作れば簡単ですね。求めたいのは \(x\) 軸からの角度である偏角ですが、今回の直角三角形は \(1:2:\sqrt{3}\) ですので、図に示した \(\alpha\) は

 

\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)

 

であることがわかります。つまり今求めたい偏角 \(\theta\) は

 

\(\displaystyle \theta=\pi -\frac{\pi}{3}=\frac{2}{3}\pi\)

 

になりますね。よって \((-1,\sqrt{3})\) を極座標で表すと

 

\(\displaystyle \left(2,\frac{2}{3}\pi\right)\)

 

ですね。直交座標から極座標に行くことができました。

極座標から直交座標へ

では逆に極座標から直交座標へ向かう方法を考えてみます。

 

 

これもやはり点の位置を把握したいので、極座標表示を元に書いてみます。

 

 

今欲しいのは \(x\) 座標と \(y\) 座標ですが、これはまさしく

 

 

この色のついた部分の長さですね。そうなると偏角と原点からの距離 \(r\) から求めようとすると・・・

そうです、三角比を使えば一発ですね。ここまで僕の記事で勉強してくれている人ならすぐにわかるはずです。

 

\(\displaystyle x=\sqrt{2}\times \cos\frac{\pi}{4}\)

\(\displaystyle y=\sqrt{2}\times \sin\frac{\pi}{4}\)

 

ですね。三角比の定義を使えば一発です。ですから、極座標から直交座標へ行くのは結構簡単です。

計算すれば

 

\(\displaystyle x=\sqrt{2}\times \cos\frac{\pi}{4}=1\)

\(\displaystyle y=\sqrt{2}\times \sin\frac{\pi}{4}=1\)

 

というわけで、極座標で \(\displaystyle \left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right)\) が表す点は、直交座標形では \((1,1)\)であることがわかりました。図で表すと

 

 

こんな感じですね。計算と図のイメージを結びつけられると、なお良いです。

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一般的な極座標と直交座標の関係

「一般的に」、と書くと多くの人はそれだけで「うっ」となってしまうのですが、これまでの例題がわかっていれば正直一般形なんて覚えなくてもいいです。

一般形とすることのメリットは、当てはめればすぐに求められるということですが、実際数学ができる人にとって一般形は「当たり前」となっています。考え方さえわかれば「覚える」必要なんてないのですから。

なのでここから書いてあることを一字一句覚えようとするのはナンセンスです。図と式を見て、「あーそうそう、わかるわかる」となればOKですよ。

さて、一般形と言ってもやることは一つもありません。関係性としては次の図に尽きています。

 

 

同じ点を \((x,y)\) で表すか、 \((r,\theta)\) で表すかの違いですね。これらは次の式で結びついていることは先ほどまでで確認した通りです。

 

 

 

これさえわかっていればOKです。図とこの式を見比べて、なんでこうなるのかを確認しておきましょう。すでに例題で確認したのでここでは言及しないことにします。

まとめ

今回は極座標の内容と、直交座標との関係について学習しました。実を言うとこの極座標表示は「三角関数」でやった「単位円」の考え方に非常に似ていますし、「複素数平面」での「極形式」の考え方と全く同じです。全く新しいことはないとは思いますが、次に出てくる極方程式につながる大事なものなのでしっかりと押さえておきましょう。

ではまた。