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方べきの定理の3パターンと注意点

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

方べきの定理を覚える

図形の性質のなかでも長さを直接求められる数少ない公式の一つです。

基本は比に関する公式が多い分野ですが直接長さに関わるものになっています。円が出てきて長さを出す問題ならかなりの確率で方べきの定理だと思ってしまってオーケー。

方べきの定理には3つのパターンがあります。

一番最初に覚えるべきなのはこのパターン

円のなかで交点を持つパターンです。

クロスしている点で線分に分けられていることに注目してください。

このとき次の公式が成り立ちます。

$$AE\times ED=BE\times EC$$

これが方べきの定理の基本形です。

さらに交点が外にあるパターンが2つ目です。これを間違えて覚える人が多いので注意してください。

この図において次の公式が成り立ちます。

$$EC\times EA=ED\times EB$$

これは先ほどの円の中にあるパターンから交点を外側に引っ張ってきたと思うと覚えやすいかもしれません。

注意しなければならないのは \(EC\times CA\) ではないことです。片方は長いほうの線分になります。

最後の一つは2番目のパターンで一つの線分が円に接してしまっている場合です。

この場合は接しているところで2回同じところをかけることになります。

なので公式は次のようになります。

$$EC\times EA=EB^2$$

とても難しい公式ではないですが、3パターンあって少しややこしいですし注意点もありましたので間違えないで覚えましょう。

終わりに

方べきの定理は長さを求められる有効な公式の一つです。使い方を間違えるとミスになってしまいますので気を付けてくださいね。

ではまた

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