「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

内心の見つけ方と性質(五心シリーズ)

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

内心の見つけ方

内心は

三角形のそれぞれの角の二等分線の交点

です。まずはこの事実をしっかりと頭に刻みましょう。書くとこんな感じですね。

交点を内心といいよく\(I\)という記号で書かれます。内心を中心としてそれぞれの辺に接する円内接円といいます。

図で書くとこんな感じです。内接円と言われたらこの図を思い出すことです。

内心に関する性質

内心は「角の二等分線」がかかわりますので必ずと言っていいほど、

角の二等分線に関する比の定理

を使います。これは例えば次の図において

$$CA:CB=AE:EB$$

が角の二等分線について成り立つ定理です。もちろんこれ以外にもこの性質を使えば

$$AB:AC=BF:FC$$

や内心を\(I\)とすれば

$$AE:AC=:EI:IC$$

などいろいろなところで当てはめることができます。

また、内接円の半径を使えば

三角形の面積を

$$\triangle{ABC}=\triangle{IAB}+\triangle{IBC}+\triangle{ICA}$$

とみて面積は半径を\(r\)として

$$\triangle{ABC}=\frac{1}{2}\times r\times AB+\frac{1}{2}\times r\times BC+\frac{1}{2}\times r\times CA$$

とできるので、面積は内接円の半径と三角形の辺の長さを使って

$$\triangle{ABC}=\frac{1}{2}r(AB+BC+CA)$$

とできます。三角形の面積の求め方が一つ膨らむわけですね。

終わりに

内心は角に二等分線とかかわって出題されることが非常に多いです。特に上記に記載した定理を使って比を求めてから次の問題にいくパターンは王道ですので押さえてほしいポイントになります。

ではまた。

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