今回の問題はこちら。
制限時間 5分です。自力で解きましょう。解いてから下の解説に移ってくださいね。
解きましたでしょうか。では解説に移ります。
今回のテーマは対数です。対数の問題に取り組む際に気をつけておきたいことは2つあります。
一つ目は真数の条件です。
とにかく真数条件を一番最初に確認してください。問題に対数が出てきたら強制的に真数条件の確認です。
真数条件を再度確認すると真数は必ず
$$真数>0$$
となります。どこかで必ず使うことになるので覚えておきましょう。
今回は
$$x>0$$
です。
2つ目は底の条件です。こちらは意外と忘れがち。
対数の底は必ず
$$底 ≠ 1$$
です。底が文字の時には特に注意です。確認を忘れずに。
さて、今回の問題は対数が出てくる問題です。対数の基本は”まとめる”ですが、この問題は少し面倒なものがあります。
それは
対数の2乗
です。
対数自体を2乗している場合私たちは変形をできません。問題だと関数の1項目です。
ですのでこれが出てきた瞬間に多くの問題は置き換えを考えます。実際にこの問題でも置き換えをしていますね。
よって最初にやることは与えられた関数を \(\log_{3}{x}\) だけが出てくる形にすることです。ということは2項目の底が違いますのでここから変形です。
補足：変形の前でも後でもいいのですが真数のところで累乗が入っている場合は前に出せますので
$$8\log_{9}{x^{2}}=8\cdot 2\log_{9}{x}=16\log_{9}{x}$$
とできます。
これをしてから変形してもいいです。解答はこちらで進めていきますね。
やることはひとつだけ。底の変換です。
$$\log_{9}{x}=\frac{\log_{3}{x}}{\log_{3}{9}}=\frac{1}{2}\log_{3}{x}$$
ここまでくれば大丈夫でしょう。置き換えをします。\(\log_{3}{x}=t\) とすれば
$$y=-2(\log_{3}{x})^2+16\cdot \frac{1}{2}\log_{3}{x}-\frac{22}{3}=-2t^2+8t-\frac{22}{3}$$
これでまずは置き換えは完了です。ただ置き換えた文字の範囲を確認していませんので確認します。
\(x\) は真数条件から \(x>0\) です。ではその対数には何か制限があるのでしょうか。
真数は正ですが、対数自体は負の値も取れますし \(0\) にもなります。例えば
$$\log_{3}{\frac{1}{3}}=-1$$
$$\log_{3}{1}=0$$
ですよね。ですから対数は真数に真数条件以外の条件がない限りは「実数全体」を取れます。指数とはここが違うところなのでしっかりと押さえましょう。
さて、置き換えと文字の確認が終わったのでやることはただ一つ。最大・最小を求めるにはグラフですから平方完成です。
$$-2t^2+8t-\frac{22}{3}=-2\left(t-2\right)^2+\frac{2}{3}$$
途中は平方完成なので大丈夫ですね。これはグラフを書かずとも、\(t\) に範囲はありませんから、
\(t=2\) の時、最大値 \(\frac{2}{3}\) をとる
ことがわかります。もちろん \(t\) は \(\log_{3}{x}\) ですから
$$\log_{3}{x}=2$$
無理やり対数を作って（\(\log_{3}{3}=1\)を使う）
$$\log_{3}{x}=2\log_{3}{3}$$
$$\log_{3}{x}=\log_{3}{3^2}$$
より
$$x=9$$
ですから最終的に
\(x=9\) の時に最大値 \(\frac{2}{3}\) をとる
ことがわかります。簡単ですね。
これで解答は終了です。お疲れ様でした。
いったん広告の時間です。
まとめ
今回のポイントはただ一つ。とにかく「対数の２乗が出てきたら置き換えを考えろ」です。問題の流れを読む力はこのような「よくある」パターンを如何に押さえて、瞬時に何をするのかを自分の中で明確にできるかどうかで決まります。繰り返しがカギです！
ではまた。
解答を以下に載せておきます。答え合わせにどうぞ。
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