「高校数学の知識庫」を今より10倍活用する方法

外心の見つけ方と性質(五心シリーズ)

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

外心の見つけ方

外心とは簡単に言えば三角形の外接円の中心です。三角比でも外接円が出てきましたが、外接円とは

三角形の頂点すべてを通る円

のことであります。つまりこんな感じですね。

外心は上の図でいうとOと書いてる点のことです。今からやりたいことは「三角形が与えられたときに外心をどうやって見つけるか」です。

三角形の五心と呼ばれている外心・内心・重心・垂心・傍心はまず三角形が与えられたときにどうすれば得られるかを知らなくてはなりません。

例えば今の外心でも、もし円が書ければその中心であるからわかりやすいですが、三角形が与えられてどこが外心ですかと聞かれると答えられなくなってしまいます。そもそも円の中心がわかっていないとコンパスで円をかけないですよね。

というわけでまずは外心を得ることを考えます。まず答えを言ってしまうと、次の操作をすればあらゆる三角形の外心でも得ることができます。

三角形の各辺の垂直二等分線を引き、その交点は一点で交わる。それが外心である。

要するにこういうことです。

こうすればどんな三角形でも外心を得ることができます。

この性質は、円から円の中心を得ることを考えるとつじつまが合いますね。

円があったときに弦の垂直二等分線円の中心を通ることを私たちは知っています。

なので三角形の辺の二等分線を書くとそれが一点で交わり、それが外接円の中心になるのです。

まずは辺の垂直二等分線の交点が外心であることを覚えておきましょう。

外心の性質

外心で特筆すべき点は外接円でしょう。

外接円と呼ばれるぐらいなのでもちろん円の性質が適用できます。

半径は等しい、先ほども出ましたが弦の垂直二等分線は円の中心をとおる、円周角等々円の性質をしっかりとみておくことをお勧めします。

終わりに

まずは外心からでした。外心はそれだけではなくて円との組み合わせが多く出てくるので、円の性質とも必ず合わせて覚えていきましょう。

ではまた。

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図形の性質
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