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円に関する性質その1(接弦定理)

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こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。

 

 

接弦定理

接弦定理は「円に内接する三角形とその円に接する接線があり、かつ三角形の”ある”頂点が接点となっている」場合に考えることができます。

次のような状態の時ですね。

三角形が円に「内接」しているのがわかります。また円に接線が書いてあり、その接点が三角形の頂点になっています。上の図だと接点が\(B\)です。

このようになっている場合、この図形において次の定理を考えることができます。

それが

 

 

上の図において \(\theta\) で表された角度は等しい

 

という接弦定理です。

これは円周角の定理を応用すれば証明できますが、証明は別のところで考えることにして、これの覚え方をここでは身につけてもらいましょう。

接弦定理の覚え方

接弦定理はなんとも覚えずらい定理の一つです。

それの理由はどことどこの角度が対応しているのかわかりづらいからだと思います。実は接弦定理は先ほどのところだけではなく

上の図の\(\theta\)の部分も等しいのです。また覚えなければいけないものが増えた・・・と思わなくて大丈夫。次の決まりさえ覚えておけばすんなり覚えられます。

それは

一番遠い角どうしが等しいのが接弦定理

です。

どういうことかを説明します。まず、接弦定理ですので、接線にかかわっている角度の定理です。

ですからまずは接線と三角形で作っている角度を一つ決めます。

でもいいですし、

でも構いません。この2つのどちらかを自分で考えることにしましょう。

そのあとに、その角度を作っている三角形の辺に注目してください。

例えば一つ目の図のほうだと、

この図の赤い線ですし、2つ目だと、

ですね”作っている”というのは要するに”その角度がかかわっている”という意味です。

これができたらもう終わりです。あとはこの赤い線が関わっていない三角形の内角が最初に考えた角度と等しいものです。

一つ目だと、

ここですね。2つ目だと言わずもがな

であります。まさに接弦定理ですよね。

このように、接弦定理を考えるときには順番通りやっていけばかならず等しい角度を見つけることができます。中に入ってる三角形が鈍角三角形でも同じなので実際にやってみてください。

これで一番遠い角どうしの意味が分かりましたね。

終わりに

接弦定理は簡単に覚えられたでしょうか。この定理を直接たくさん使うことは少ないかもしれませんが、もちろん知っておかなければいけない定理ですので、あまり覚えようと頑張らずに、「上記のような手順で考えればすぐにわかるんだ」という気持ちで押さえてみてください。

ではまた。

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